BAB 4 STATISTIKA DASAR 1 STKIP MUHAMMADIYAH SORONG 2012

PROBABILITAS = PELUANG

1. Pendahuluan

• Percobaan : proses yang menghasilkan data

• Ruang Contoh (S) : himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil percobaan

• Kejadian = Event : himpunan bagian dari ruang contoh

• Titik Contoh: Anggota Ruang Contoh/Kejadian

• Konsep Dasar (Klasik) Peluang

Peluang kejadian A dinotasikan sebagai P(A)

Jika setiap titik contoh mempunyai peluang yang sama maka : P(A) = n/N

n : banyak titik contoh penyusun Kejadian

N : banyak titik contoh dalam Ruang Contoh (S)

• Nilai Peluang Kejadian A → 0 ≤ P(A) ≤ 1

 dan     P (S) = 1 . Peluang Kejadian yang pasti terjadi

P (Ø) = 0 . Peluang Kejadian yang pasti tidak terjadi

Contoh 1:

Percobaan: Pelemparan sebuah dadu setimbang (balanced) sebanyak 1 kali

       S : {sisi-1, sisi-2, sisi-3, sisi-4, sisi-5, sisi-6} N = 6

Kejadian A: Munculnya sisi dadu bernilai GENAP dalam pelemparan sebuah dadu

setimbang (balanced) sebanyak 1 kali

 A {sisi-2, sisi-4, sisi-6} n = 3

Peluang kejadian A: P(A) = n/N = 3/6 = ½ = 0,5

Contoh 2:

Percobaan: Pengambilan sebuah kartu secara acak dari satu set kartu Bridge, Ruang

                  sampel gambar kartu tersebut

                  S: {J, Q, K, As, 2-10 Hati, J, Q, K, As, 2-10 Wajik, J, Q, K, As, 2-10 Klaver,

                  J, Q, K, As, 2-10 Sekop} N = 52

Kejadian B: Munculnya kartu bergambar J

               B: {J Hati. J Wajik, J Klaver, J sekop} n = 4

               Peluang kejadian B:  P(B) = n/N = 4/52 = 1/13   

2. Pencacahan Titik Contoh

Sub bab ini adalah mengenai perhitungan banyaknya anggota ruang contoh.

2.1 Kaidah Perkalian = Kaidah Penggandaan

Kaidah Perkalian:

Jika operasi ke-1 dapat dilakukan dalam n₁ cara

 operasi ke-2 dapat dilakukan dalam n₂ cara

 :

 :

 operasi ke-k dapat dilakukan dalam n_k cara

maka k operasi dalam urutan tersebut dapat dilakukan dalam

n1 × n 2 × …× n_k cara

Contoh 2:

Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 3, 4, 6, 7, dan 8

a. jika semua angka boleh berulang?

 5 × 5 × 5 × 5 = 625

b. jika angka tidak boleh berulang?

5 × 4 × 3 × 2 = 120

c jika bilangan tersebut: GANJIL dan angka tidak boleh berulang?

 4 × 3 × 2 × 1 = 48

d. Berapa peluang bilangan yang muncul adalah bilangan GANJIL dan angka tidak

berulang (lihat Kejadian c) pada kondisi pembentukan bilangan 4 digit, angka boleh

berulang (lihat Kejadian a)

 n = 48, N = 625

P(C) = n/N = 48/625

2.2. Permutasi

Permutasi sejumlah obyek adalah penyusunan obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu.

Dalam permutasi urutan diperhatikan!

Misal :

Dari huruf A, B, C . permutasi yang mungkin adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB dan

CBA. Perhatikan ke-enam susunan ini semua dianggap berbeda!

Dalil 1 Permutasi :

Banyaknya Permutasi n benda yang

berbeda adalah n!

Konsep Bilangan Faktorial

n! = n × (n-1) ×(n-2) ×.... × 2 × 1

0! = 1

1! = 1

2! = 2 × 1 = 2

3! = 3 × 2 × 1 = 6, dst

100! = 100 × 99!

100! = 100 × 99 × 98!, dst

Contoh 3 :

Berapa cara menyusun bola lampu merah, biru, kuning dan hijau ?

Terdapat 4 objek berbeda : merah, kuning, biru dan hijau . 4! = 4× 3 × 2 × 1 = 24

Dalil 2 Permutasi :

Banyaknya permutasi r benda dari n benda yang berbeda adalah : _nP_r = n!/(n-r)!

Perhatikan dalam contoh-contoh ini urutan obyek sangat diperhatikan!

Contoh 4 :

Dari 40 nomor rekening akan diundi 3 untuk memenangkan hadiah. Undian urutan pertama

akan memperoleh uang tunai $50000, undian urutan kedua memperoleh paket wisata dan

undian urutan ketiga memperoleh sebuah sedan. Berapa banyaknya susunan pemenang

yang mungkin terbentuk jika satu nomor rekening hanya berhak atas satu hadiah?

₄₀P₃ = 40!/(40-3)! = 40!/47! = (40x39x38x37!)/37! = 59280

Dalil 3 Permutasi (Permutasi Melingkar):

Banyaknya permutasi n benda yang disusun dalam suatu lingkaran adalah (n-1)!

Contoh 5:

Enam orang bermain bridge dalam susunan melingkar. Berapa susunan yang mungkin

dibentuk? n = 6 maka permutasi melingkar = (6-1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 ×1 = 120

Sampai dalil ke-3, kita telah membahas permutasi untuk benda-benda yang berbeda.

Perhatikan permutasi ABC, terdapat 3 objek yang jelas berbeda.

Bagaimana jika kita harus berhadapan dengan A₁A₂B₁B₂C₁C₂ dan A₁=A₂=A dan

B₁=B₂=B dan C₁=C₂= C?

Dalil 4 Permutasi (Permutasi Bersekat)

Banyaknya permutasi untuk sejumlah n benda di mana

jenis/kelompok	pertama	berjumlah n1
jenis/kelompok	kedua	berjumlah n2
:	:	:
:	:	:
jenis/kelompok	ke-k	berjumlah nk

 adalah : n!/(n₁!n₂!n₃!....n_k!)

n = n1 + n2 + . . . + nk

Contoh 6 :

Berapa permutasi dari kata STATISTIKA? S = 2; T = 3; A = 2; I = 2; K = 1

Permutasi = 10!/(2!3!2!2!1!) = 75600

Contoh 7 :

Dari 7 orang mahasiswa akan dilakukan pemisahan kelas. 3 orang masuk ke kelas pertama,

2 orang masuk ke kelas kedua dan 2 orang masuk ke kelas ketiga.

Ada berapa cara pemisahan?

(7!/3!2!2!) = 210

2.3 Kombinasi

Kombinasi r obyek yang dipilih dari n obyek adalah susunan r obyek tanpa memperhatikan

urutan.

Misalkan : Kombinasi 2 dari 3 obyek A, B dan C adalah

                 1. A dan B = B dan A

     2. A dan C = C dan A

     3. B dan C = C dan B

Dalil-1 Kombinasi

 

maka : Pemilihan 2 dari 3 obyek adalah :

2.4 Kaidah Perkalian & Kombinasi

Dalam banyak soal, kaidah perkalian dan kombinasi seringkali digunakan bersama-sama.

Contoh 8 :

Manajer SDM mengajukan 12 calon manajer yang berkualifikasi sama, 5 calon berasal dari

Kantor Pusat, 4 calon dari Kantor cabang dan 3 dari Program Pelatihan Manajer.

a. Berapa cara Manajer SDM dapat memilih 6 manajer baru dengan ketentuan 3

berasal dari Kantor Pusat. 2 dari Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan

manajer?

Pemilihan 3 dari 5 calon dari Kantor Pusat

Pemilihan 2 dari 4 calon dari Kantor Cabang

Pemilihan 1 dari 3 calon dari Program Pelatihan

Pemilihan Manajer = 10 × 6 × 3 = 180 cara = n

b. Berapa cara memilih 6 dari 12 calon manager?

 Pemilihan 6 dari 12 calon manager

c. Berapa peluang 6 manajer baru dari 12 calon terdiri dari 3 dari Kantor Pusat, 2 dari

Kantor Cabang dan 1 dari Program Pelatihan?

P(manajer) = (n/N) = 180/924

3. Pengolahan Peluang

3.1 Kaidah Penjumlahan Peluang Kejadian

Dalil 1. Kaidah Penjumlah Peluang Kejadian

Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka

P(AÇB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

atau

P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(AÇB)

 AÇB = kejadian A atau B                        A∩B = kejadian A dan B

 Contoh 10 :

Menurut catatan sebuah Bank, peluang Industri Manufakturing memperoleh kredit adalah

0.35. Sedangkan peluang Industri yang Padat Karya = 0.45. Peluang Industri yang

tergolong Manufakturing atau Padat Karya = 0.25. Berapakah Peluang Industri

Manufakturing dan Padat Karya memperoleh Kredit? (0.35 + 0.45 - 0.25 = 0.55)

Konsekuensi 1. Kaidah Penjumlahan Peluang

Bila A dan B adalah kejadian Saling Terpisah (A∩B=Ø), maka :P(AÇB) = P(A) + P(B)

     style="display:inline-block;width:728px;height:90px"
     data-ad-client="ca-pub-6198638082580790"
     data-ad-slot="4259952265">

Contoh 11 :

Berapakah peluang munculnya kartu bernilai 7 berwarna merah (A) atau bernilai 7 dengan

hitam(B) pada pengambilan sebuah kartu secara acak dari seperangkat kartu bridge?

Pada pengambilan sebuah kartu tidaklah mungkin mendapatkan kartu bernilai 7 berwarna

merah sekaligus berwarna hitam (A∩B=Ø)

P(A∩B) = 2/52 + 2/52 = 4/52 = 1/13

Konsekuensi 2. Kaidah Penjumlahan Peluang

Bila A₁, A₂,..., Ak saling terpisah, maka :

P(A₁ÇA₂Ç . . ÇA_k) = P(A₁) + P(A₂) + . . . + P(A_k)

Dalil 2. Kaidah Penjumlahan Peluang Kejadian Berkomplemen

Jika A dan A' adalah 2 kejadian yang berkomplemen, maka :

P(A) + P(A')= 1

Contoh 12 :

Peluang seorang mahasiswa tidak lulus ujian = 0.30, Peluang seorang mahasiswa lulus

ujian = 1 - 0.30 = 0.70

karena:

Jika kejadian A = TIDAK lulus ujian dan P(A) = 0.30

maka kejadian A’ = LULUS sehingga P(A) = 1 - P(A) = 1 - 0.30 = 0.70

3.2 Peluang Bersyarat

Peluang Bersyarat berlaku untuk penetapan peluang kejadian yang tidak bebas.

Kejadian-kejadian yang bergantung dengan kejadian lain disebut : Kejadian Tidak Bebas.

Contoh kejadian tidak bebas : pengambilan contoh tanpa pemulihan

Tanpa pemulihan = contoh yang telah terambil tidak dikembalikan ke dalam ruang contoh.

Kejadian yang terjadi tanpa bergantung dengan kejadian lain disebut Kejadian Bebas.

Contoh kejadian bebas : pengambilan contoh dengan pemulihan

Dengan pemulihan = contoh yang telah terambil dikembalikan ke dalam ruang contoh.

Notasi Peluang Bersyarat : P(B|A)

Dibaca : "Peluang terjadinya B, bila A telah terjadi"

atau

            "Peluang B, jika peluang A diketahui"

Contoh 12:

Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola

dilakukan tanpa pemulihan

Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = 4/10

Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM .MERAH) = 6/9

Peluang Bola ketiga berwarna Hitam = P (HITAM . HITAM .MERAH) = 5/8

Peluang Bola keempat berwarna Merah = P(MERAH .HITAM .HITAM .MERAH) = 3/7

Definisi Peluang Bersyarat secara umum :

Perhatikan : P(B|A) . P(A|B) dan P(A∩B) = P (B∩A)

Contoh 13 : Peluang KRL berangkat tepat waktuP(B) = 0.50

Peluang KRL datang ke tepat waktu P(D) = 0.40

Peluang KRL berangkat dan datang tepat waktu P(B∩D) = 0.30

a. Peluang KRL akan datang tepat waktu setelah berangkat tepat waktu?

b. Peluang KRL akan berangkat tepat waktu setelah datang tepat waktu?

Definisi : Dua Kejadian A dan B dikatakan bebas jika :

    P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A)

    Bila hal itu tidak dipenuhi, A dan B dikatakan tidak bebas

3.3 Kaidah Penggandaan Peluang = Kaidah perkalian peluang

Penghitungan peluang beberapa kejadian yang dapat terjadi sekaligus.

Dalil 1. Kaidah perkalian Peluang

Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B dapat terjadi sekaligus, maka :

P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)

    = P(B ∩ A)

                = P(B) × P(A|B)

Ingat : A∩B dibaca sebagai kejadian A dan B

Contoh 14 (Lihat Contoh 12)

Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola

dilakukan tanpa pemulihan

a) Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = 410

 Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM .MERAH) = 69

Peluang Bola pertama Merah dan Bola kedua Hitam = 410 × 69 = 24/90 = 4/15

b) Peluang Bola pertama berwarna Hitam = P(HITAM) = 6/10

 Peluang Bola kedua berwarna Merah = P(MERAH .HITAM) = 4/9

 Peluang Bola pertama Hitam dan Bola kedua Merah = 610 × 49= 24/90 = 4/15

Dalil 2. Kaidah Perkalian Peluang Kejadian Bebas

Bila A dan B adalah kejadian bebas, maka :

 P(A ∩ B) = P(A) × (B)

Contoh 14b:

Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola

dilakukan dengan pemulihan

Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = 4/10

Peluang Bola kedua berwarna Hitam = P (HITAM .MERAH) = P(HITAM) 6/10

Peluang Bola pertama Merah dan Bola kedua Hitam = 4/10 × 6/10 = 24/100 = 6/25

Kaidah Penggandaan Peluang (secara umum)

Dalil 3. Kaidah Penggandaan Peluang (secara umum)

Bila dalam suatu percobaan kejadian A1, A2,..., Ak, maka :

P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ . . . ∩A_k) = P(A ) × P(A₂|A₁) × P(A₃|A₁ |A₂) ×. . . .×

P(A_k|A₁∩A₂∩A₃ ∩ . . . ∩A_k-1)